Отбор точечных объектов

class: center, middle, inverse, title-slide

# Отбор точечных объектов
## Картографические базы данных. Лекция №3
### Тимофей Самсонов
### 2019-09-09

---

## Генерализация множеств точечных объектов

.pull-left[
.red[**Методы генерализации**]

1. Отбор

1. Кластеризация

1. Регионизация

]

.pull-right[

.blue[**Аспекты**]

1. Вспомогательные геометрические структуры

1. Параметризация алгоритмов

1. Оценка результатов

]

---

## Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного

**Триангуляция** (на плоскости) — это разбиение фигуры на треугольники.

.pull-left[
Под триангуляцией множества точек понимается *триангуляция их выпуклой оболочки*, в которой сами точки являются вершинами треугольников.

> В *триангуляции Делоне* окружность, описанная вокруг каждого треугольника, не содержит других точек этого множества

]

.pull-right[

]

---

## Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного

**Диаграмма Вороного** конечного множества точек `$S$` на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к одному из элементов множества `$S$`, чем к любому другому элементу множества.

.pull-left[
- строится на основе серединных перпендикуляров к сторонам треугольников

- взаимно однозначна триангуляции Делоне множества точек
]

.pull-right[
<img src="img/talk3/voronoi.svg" width="60%" />

]

---

## Диаграмма Вороного

.pull-left[

Диаграмма Вороного представляет из себя способ моделирования конкурентных зон

]

.pull-right[

]

---

## Диаграмма Вороного

Для вычисления диаграммы могут быть использованы различные метрики

.pull-left[

**Евклидово расстояние**

`$d_{12} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$`
  
<img src="img/talk3/voronoi_std.svg" width="60%" />
  
]

.pull-right[

**Манхэттенское расстояние**

`$d_{12} = |x_1-x_2| + |y_1 - y_2|$`
  
<img src="img/talk3/voronoi_mnh.svg" width="60%" />

]

---

## Отбор точек

.pull-left[
.red[**Алгоритмы отбора:**]

1. Разделения населенных пунктов (*settlement-spacing*)

1. Растущей окружности (*circle-growth*)

1. Взвешенной эффективной площади (*effective area*)

]

.pull-right[
.blue[__Критерии важности:__]

- значение показателя в точке

- статус (ранг) точки

- расстояние до ближайшей точки

- эффективная площадь точки (ячейка Вороного)
]

---

## Алгоритм Settlement-spacing

Вокруг каждой точки строится окружность радиуса `$R_i = C/W_i$`, где `$W_i$` — вес точки, а `$С$` — константа. Точки сортируются в порядке уменьшения `$W_i$`.

1. Выбирается первая точка. Добавляется в результат.
1. Выбирается следующая точка. Если она содержит в окружности ранее добавленную точку, она исключается. Если нет, то добавляется в результат.
1. Шаг 2 повторяется, пока не будет достигнут требуемый процент отбора точек, либо не исчерпается множество точек.

---

## Алгоритм Circle-growth

Радиус окружности `$R = C \times W_i$` прямо пропорционален весу точки `$W_i$`.

1. Начальное значение `$С$` выбирается таким образом, чтобы окружность наиболее важной точки не накрывала ни одну соседнюю точку.
1. Значение `$С$` увеличивается, при этом удаляются те точки, окружности которых оказались целиком внутри окружности точки более высокого ранга.
1. Процедура продолжается до тех пор пока, не будет достигнут требуемый процент удаляемых точек.
<img src="img/talk3/circ-growth.png" width="100%" />

---

## Алгоритм эффективной площади

2. Построить диаграмму Вороного точек в пределах минимальной оболочки.

3. Вычислить веса каждой точки обратно пропорционально площади ее ячейки Вороного `$W_i = A_i^{-1}$`. Пометить все точки как активные.

4. Удалить активную точку с наименьшим весом.

5. Перестроить локально диаграмму Вороного для соседей точки первого порядка. Деактивировать соседей (запретить их удаление).

6. Повторять шаги 4-5 для оставшихся точек, пока не будут деактивированы все точки или пока не будет достигнут требуемый процент отбора.

7. Если не достигнут требуемый процент отбора точек, активировать все точки и перейти к шагу 4. В противном случае завершить обработку

---

## Алгоритм эффективной площади

.pull-left[
**До:**
<img src="img/talk3/effa_source.png" width="90%" />
]

.pull-right[
**После:**
<img src="img/talk3/effa_result.png" width="90%" />
]

.small[**Ai T., Liu Y.**  *A method of point cluster simplification with spatial distribution properties preserved*, Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 25(1), 35–41, 2002.]

---

## Локальное перестроение диаграммы Вороного

1. Выбрать соседей первого и второго порядка, построить для них диаграмму Вороного
2. Выбрать полигоны Вороного соседей первого порядка и заменить ими полигоны Вороного в исходной диаграмме

**Деактивация** соседей первого порядка позволяет избежать прореживания множества точек в местах их значительного скопления

---

## Алгоритм взвешенной эффективной площади

Вес точки масштабируется пропорционально ее значимости, а не только эффективной площади: `$W_i = С_i \times A_i^{-1}$`, где параметр `$С_i$` можно представить как средневзвешенную сумму баллов за факторы:

`$$С_i = \frac{\sum w_j f_{ij}}{\sum w_j}$$`

где `$w_j$` – вес `$j$`-го фактора, `$f_{ij}$` — значение `$j$`-го фактора в `$i$`-й точке.

.small[**Yan, H. W and Li, Z. L.**, *A Voronoi-based algorithm for point cluster generalization* // Proceedings of 11th International Conference on Geometry and Graphics, August 2004, Guangzhou, 2004.]

---

## Районирование по густоте

Позволяет дифференцировать допуски и критерии генерализации
<img src="img/talk3/sel_regions.png" width="50%" />

.small[**Samsonov T., Krivosheina A.**  *Joint generalization of city points and road network for small-scale mapping* // Proceedings of Seventh International Conference on Geographic Information Science GIScience, September 18-21, 2012. — Columbus, Ohio, 2012. — P. 1–7.]

---

## Районирование по густоте

Можно выполнить районирование территории по густоте размещения и для каждого района устанавливать свои допуски и критерии генерализации

---

## Графическая оценка результатов

**До генерализации:**

1 у.е. — пунсон населенного пункта наименьшего класса

---

## Графическая оценка результатов

**После генерализации:**

1 у.е. — пунсон населенного пункта наименьшего класса

---

## Численная оценка результатов

**Закон квадратного корня [Топфера]:**  *количество объектов уменьшается пропорционально квадратному корню отношения исходного и результирующего масштабов*:

$$
N_T = N_S \sqrt {\frac{S_S}{S_T}}
$$

где `$N_T$` — количество объектов в целевом масштабе, `$N_S$` — количество объектов в исходном масштабе, `$S_T$` — целевой масштаб, `$S_S$` — исходный масштаб.

**Topfer, F. and Pillewizer, W.** (1966) *The Principles of Selection*. The Cartographic Journal, 3, 10-16. http://dx.doi.org/10.1179/caj.1966.3.1.10

---

## Обобщенный закон Топфера

Закон Топфера можно обобщить, чтобы получать оценку результатов генерализации:
$$
N_T = N_S \sqrt {\left(\frac{S_S}{S_T}\right)^x}
$$

Параметр `$x$` определяет степень отбора при генерализации и принимает следующие характерные значения:

- `$0$` — нет отбора
- `$(0, 4)$` — *увеличение* густоты
- `$4$` — *сохранение* густоты
- `$>4$` — *уменьшение* густоты

---

## Численная оценка результатов

Оценка по закону Топфера показывает, что, как правило, при уменьшении масштаба наблюдается выравнивание плотности объектов по различным районам, а также общее уплотнение объектов:

.pull-left[

Класс | Значение параметра `$x$`
--|--
1  | 4,2
2  | 3,0
3  | 2,0
4  | 1,2
Всего  | 3,8

]

.pull-right[

]