Анализ пересечений внутренней области, границы и внешней области двух объектов \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\).
Размерность пересечения может быть \(-, 0, 1, 2\), что дает \(4^9 =262144\) комбинаций.
DE-9IM
Модель DE-9IM описывает наиболее полный спектр топологических отношений и поддерживается в большинстве систем управления базами пространственных данных.
\(\lambda_1 \lambda_2\)
Возможно
Без обратных
\(AA\)
12
9
\(LA\)
31
31
\(PA\)
3
3
\(LL\)
36
33
\(PL\)
3
3
\(PP\)
2
2
Итого
81
DE-4/9IM (01-08) точки
DE-4/9IM (09-17) полигоны
DE-4/9IM (18-25) линии/полигоны
DE-4/9IM (26-33) линии/полигоны
DE-4/9IM (34-43) линии/полигоны
DE-4/9IM (44-48) линии/полигоны
DE-4/9IM (49-58) линии
DE-4/9IM (59-69) линии
DE-4/9IM (70-78) линии
DE-4/9IM (79-81) линии
Calculus-based model (CBM)
Базируется на 5 отношениях и операторах границы для полигона (\(A\)) и линии (\(L\)).
В стандарте определены SQL-функции для работы с пространственными данными:
Функция
CBM / DE-9IM
Simple Features
SQL/MM
PostGIS
ST_Crosses
\(\langle\lambda_1, cross, \lambda_2\rangle\)
a.Crosses(b)
✓
✓
ST_Within
\(\langle \color{red}{\lambda_1}, in, \color{blue}{\lambda_2}\rangle\)
a.Within(b)
✓
✓
ST_Contains
\(\langle \color{blue}{\lambda_2}, in, \color{red}{\lambda_1}\rangle\)
a.Contains(b)
✓
✓
ST_Overlaps
\(\langle\lambda_1, overlap, \lambda_2\rangle\)
a.Overlaps(b)
✓
✓
Дополнительные функции PostGIS
Дополнительно к ST_Contains в PostGIS определены функции:
Функция
CBM / DE-9IM
PostGIS
ST_CoveredBy
\(\langle \color{red}{\lambda_1}, in, \color{blue}{\lambda_2}\rangle \lor \langle \color{red}{\lambda_1}, in, \color{blue}{(\lambda_2,b)}\rangle\)
✓
ST_Covers
\(\langle \color{blue}{\lambda_2}, in, \color{red}{\lambda_1}\rangle \lor \langle \color{blue}{\lambda_2}, in, \color{red}{(\lambda_1,b)}\rangle\)
✓
ST_ContainsProperly
\(\langle \color{blue}{\lambda_2}, in, \color{red}{\lambda_1}\rangle \land \langle \color{blue}{\lambda_2}, disjoint, \color{red}{(\lambda_1,b)}\rangle\)
✓
Contains, ContainsProperly, Covers
Данные топологические отношения различаются следующим образом:
Функция
Множества
Пояснение
ST_Contains
\(\lambda_2^\circ \subset \lambda_1^\circ\)
внутренность второго объекта располагается во внутренности первого
ST_ContainsProperly
\(\lambda_2 \subset \lambda_1^\circ\)
второй объект располагается во внутренности первого
ST_Covers
\(\lambda_2 \subset \lambda_1\)
второй объект располагается в первом
Но разница проявляется в области границы
Чтобы найти линию, целиком совпадающую с границей полигона, нужно использовать сочетание ST_Covers и ST_Touches. Такая линия не располагается внутри полигона (ST_Contains и ST_ContainsProperly дадут ложь), но при этом покрывается им (ST_Covers даст истину) и касается его (ST_Touches так же даст истину).
Свойства бинарных отношений
Введенные отношения обладают следующими свойствами:
Отношение
Рефлексивность
Симметричность
Транзитивность
Equals
✓
✓
✓
Disjoint
✓
Intersects
✓
✓
Touches
✓
Crosses
✓
Within / Contains
✓
✓
Overlaps
✓
CoveredBy / Covers
✓
✓
ContainsProperly
✓
Равенство геометрий
Пространственное равенство означает, что геометрии совпадают на уровне множеств координат:
ST_OrderingEquals — дополнительная функция PostGIS, которая позволяет установить факт геометрического равенства. Если не учитывать информацию о СК, ее вызов соответствует выражению ST_AsBinary(A) = ST_AsBinary(B)
ST_Relate: отношения общего вида
Стандарт SQL/MM также предписывает необходимость наличия функции ST_Relate, которую можно использовать для:
проверки отношения на предмет соответствия заданному шаблону DE-9IM;
вычисления фактической матрицы DE-9IM для заданных объектов.
SQL/MM
DE-9IM
Расшифровка
T
\(\dim(S) \neq -\)
Пересечение существует
F
\(\dim(S) = -\)
Пересечение не существует
*
Наличие пересечения не имеет значения
0
\(\dim(S) = 0\)
Пересечение существует и его размерность равна \(0\)
1
\(\dim(S) = 1\)
Пересечение существует и его размерность равна \(1\)
2
\(\dim(S) = 2\)
Пересечение существует и его размерность равна \(2\)
Clementini, Eliseo, и Paolino Di Felice. 1995. «A Comparison of Methods for Representing Topological Relationships». Information Sciences - Applications 3 (3): 149–78. https://doi.org/10.1016/1069-0115(94)00033-X.
Clementini, Eliseo, Paolino Di Felice, и Peter van Oosterom. 1993. «A Small Set of Formal Topological Relationships Suitable for End-User Interaction». В Advances in Spatial Databases, под редакцией David Abel и Beng Chin Ooi, 692:277–95. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. https://doi.org/10.1007/3-540-56869-7_16.
Egenhofer, Max J. 1991. «Reasoning about binary topological relations». В Advances in Spatial Databases, под редакцией Oliver Günther и Hans-Jörg Schek, 141–60. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
Egenhofer, Max J., и Robert D. Franzosa. 1991. «Point-set topological spatial relations». International Journal of Geographical Information Systems 5 (2): 161–74. https://doi.org/10.1080/02693799108927841.
Egenhofer, Max J, и John R. Herring. 1991. «Categorizing Binary Topological Relations Between Regions, Lines, and Points in Geographic Databases». Technical Report. Orono, ME: Department of Surveying Engineering, University of Maine.
